Métodos Robustos em Séries Temporais Multivariadas com Dados de Alta Dimensão

Nome: Higor Henrique Aranda Cotta
Tipo: Tese de doutorado
Data de publicação: 22/08/2019
Orientador:

Nomeordem crescente Papel
Valdério Anselmo Reisen Orientador

Banca:

Nomeordem crescente Papel
Wilfredo Omar Palma Manriquez Examinador Externo
Valdério Anselmo Reisen Orientador
Taciana Toledo de Almeida Albuquerque Examinador Interno
Pascal Bondon Orientador
Neyval Costa Reis Jr. Examinador Interno
Márton Ispány Examinador Externo
Glaura da Conceição Franco Examinador Externo
Alexandre Renaux Examinador Externo

Resumo: Este manuscrito e centrado em propor novos ´
metodos de estimac¸ ´ ao das func¸ ˜ oes de autoco- ˜
variancia e autocorrelac¸ ˆ ao matriciais de s ˜ eries ´
temporais multivariadas com e sem presenc¸a de
observac¸oes discrepantes aleat ˜ orias. As func¸ ´ oes ˜
de autocovariancia e autocorrelac¸ ˆ ao matriciais de- ˜
sempenham um papel importante na analise e na ´
estimac¸ao dos par ˜ ametros de modelos de s ˆ erie ´
temporal multivariadas. Primeiramente, nos propo- ´
mos novos estimadores dessas func¸oes matriciais ˜
constru´ıdas, considerando a abordagem do dom´ınio
da frequencia por meio do periodograma matricial, ˆ
um estimador natural da matriz de densidade espectral. Como no caso dos estimadores tradicionais
das func¸oes de autocovari ˜ ancia e autocorrelac¸ ˆ ao ma- ˜
triciais, os nossos estimadores tambem s ´ ao afeta- ˜
dos pelas observac¸oes discrepantes. Assim, qual- ˜
quer analise subsequente que os utilize ´ e diretamente ´
afetada causando conclusoes equivocadas. Para mi- ˜
tigar esse problema, nos propomos a utilizac¸ ´ ao de ˜
tecnicas de estat ´ ´ıstica robusta para a criac¸ao de es- ˜
timadores resistentes as observac¸ ` oes discrepantes ˜
aleatorias. ´
Inicialmente, nos propomos novos estimadores das ´
func¸oes de autocovari ˜ ancia e autocorrelac¸ ˆ ao de ˜
series temporais univariadas considerando a conex ´ ao˜
entre o dom´ınio do tempo e da frequencia por meio ˆ
da relac¸ao entre a func¸ ˜ ao de autocovari ˜ ancia e a ˆ
densidade espectral, do qual o periodograma tradicional e o estimador natural. Esse estimador ´ e´
sens´ıvel as observac¸ ` oes discrepantes. Assim, a ro- ˜
bustez e atingida considerando a utilizac¸ ´ ao do ˜ Mperiodograma. O M-periodograma e obtido substi- ´
tuindo a regressao por m ˜ ´ınimos quadrados com a
M-regressao no c ˜ alculo das estimativas dos coefi- ´
cientes de Fourier relacionados ao periodograma. As
propriedades assintoticas dos estimadores s ´ ao esta- ˜
belecidas. Para diferentes tamanhos de amostras e
cenarios de contaminac¸ ´ ao, a performance dos esti- ˜
madores e investigada. Os resultados emp ´ ´ıricos indicam que os metodos propostos provem resultados ´
acurados. Isto e, os m ´ etodos propostos obt ´ em va- ˆ
lores proximos aos da func¸ ´ ao de autocorrelac¸ ˜ ao tra- ˜
dicional no contexto de nao contaminac¸ ˜ ao dos da- ˜
dos. Quando ha contaminac¸ ´ ao, os ˜ M-estimadores
permanecem inalterados. Deste modo, as func¸oes de ˜
M-autocovariancia e de ˆ M-autocorrelac¸ao propostas ˜
nesta tese sao alternativas vi ˜ aveis para s ´ eries tempo- ´
rais com e sem observac¸oes discrepantes. ˜
A boa performance dos estimadores para o cenario ´
de series temporais univariadas motivou a extens ´ ao˜
para o contexto de series temporais multivariadas. ´
Essa extensao˜ e direta, haja vista que somente os co- ´
eficientes de Fourier relativos a cada uma das s ` eries ´
univariadas sao necess ˜ arios para o c ´ alculo do per- ´
iodograma cruzado. Novamente, a relac¸ao de dua- ˜
lidade entre o dom´ınio da frequencia e do tempo ˆ
e explorada por meio da conex ´ ao entre a func¸ ˜ ao˜
matricial de autocovariancia e a matriz de densi- ˆ
dade espectral de series temporais multivariadas. ´ E´
neste sentido que, o presente artigo propoe a ma- ˜
triz M-periodograma como um substituto robusto a`
matriz periodograma tradicional na criac¸ao de esti- ˜
madores das func¸oes matriciais de autocovari ˜ ancia ˆ
e autocorrelac¸ao. As propriedades assint ˜ oticas s ´ ao˜
estudas e experimentos numericos s ´ ao realizados. ˜
Como exemplo de aplicac¸ao˜ a dados reais, n ` os apli- ´
camos as func¸oes propostas no artigo na estimac¸ ˜ ao˜
dos parametros do modelo de s ˆ erie temporal multiva- ´
riada pelo metodo de Yule-Walker para a modelagem ´
dos dados MP10 da regiao de Vit ˜ oria/Brasil. ´
Finalmente, a estimac¸ao robusta dos n ˜ umeros de fa- ´
tores em modelos fatoriais aproximados de alta dimensao˜ e considerada com o objetivo de reduzir a ´
dimensionalidade. E sabido que dados discrepantes ´
afetam as matrizes de covariancia e correlac¸ ˆ ao. Em ˜
adic¸ao, t ˜ ecnicas que dependem do c ´ alculo dos au- ´
tovalores e autovetores dessas matrizes, como a
analise de componentes principais e a an ´ alise fatorial, ´
sao completamente afetadas. Assim, na presenc¸a de ˜
observac¸oes discrepantes, o crit ˜ erio de informac¸ ´ ao˜
proposto por Bai & Ng (2002) tende a superestimar o numero de fatores. De forma a resol- ´
ver esse problema, nos propomos substituir a ma- ´
triz de covariancia amostral usual pela matriz ˆ Mcovariancia robusta proposta no segundo artigo. Nos- ˆ
sas simulac¸oes de Monte Carlo mostram, como es- ˜
perado, que dentro do cenario de n ´ ao contaminac¸ ˜ ao, ˜
os metodos usuais e robustos s ´ ao equivalentes. J ˜ a´
na presenc¸a de observac¸oes discrepantes o n ˜ umero ´
estimado de fatores obtidos considerando os autovalores e autovetores da matriz de covariancia usual au- ˆ
menta, enquanto ao se utilizar os autovalores e autovetores da matriz M-covariancia estima-se correta- ˆ
mente o verdadeiro numero de fatores. Em um pro- ´
blema real, sao considerados os dados de MP ˜ 10 da
regiao de Il ˜ e-de-France/Franc¸a.

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